Page 72 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Teori Bilangan

Soal dan Pembahasan

1. Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x – 3y
dibagi 4, maka bersisa ...

Jawab:
x = 4a + 3  untuk a  bilangan bulat

y = 4b + 3  untuk b  bilangan bulat
3y = 3  (4b + 3)

= 4  (3b) + 9
= 4b + 1  untuk b  bilangan bulat

Sehingga:

x – 3y = 3  (4b + 3) – (4b + 1)

= 4a + 3 – 4b – 1

= 4  (a – b) + 2

Jadi, x – 3y dibagi 4 bersisa 2.

2. Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b karena untuk a = 13
dan b = –2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254,
dan 1986 yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b.

Jawab:

Perhatikan bahwa 1 dapat dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b dengan a = –2
dan b = 1. Karena 1 membagi semua bilangan bulat, maka semua bilangan
dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b.

Periksa:

37 = 5a + 11b (untuk a = 3 dan b = 2)

37 = 5(3) + 11(2)

37 = 15 + 22

37 = 37 (benar)
254 = 5a + 11b (untuk a = 53 dan b = –1)

Siap OSN Matematika SMP 2015 63