Page 75 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Teori Bilangan

b. Kita peroleh 9 1003  (–1) 1003  –1  9 mod 10. Dengan penjumlahan, 7 902 
4 200
49 451  (–1) 451  –1 mod 10. Terakhir, 3 801  3  (3 )  3  1 200  3 mod
10. Sehingga 9 1003 – 7 902 + 3 801  (–1) – (–1) + 3  3 mod 10. Jadi, angka
satuannya adalah 3.

6. Temukan tiga digit terakhir dari 2003 2002 2001 .

Jawab:

Kita harus temukan sisa bagi 2003 2002 2001 oleh 1000, akan disamakan sisa bagi

2003 2002 2001 oleh 1000, karena 2003  3 (mod 1000). Untuk mengerjakan ini
kita akan temukan dahulu suatu bilangan bulat positif n sedemikian sehingga
n
3  1 (mod 1000) dan coba ekpresikan 2002 2001 ke dalam bentuk nk + r,
sehingga

r
r
n k
k
2003 2002 2001  3 nk + r  (3 )  3r  1  3  3 (mod 1000)
2
Sepanjang 3 = 10 – 1, kita dapat menghitung 3 2m dengan teorema binomial:
m m   1 m 2
m
m
m
3 2m = (10 – 1) = (–1) + 10m(–1) m – 1 + 100   1   10 ,
2
Setelah tiga bentuk pertama dari ekspansi ini, semua sisanya habis dibagi
1000. Jadi, misalkan m = 2q, kita peroleh bahwa
4q
3  1 – 20q + 100q(2q – 1) (mod 1000). (1)

Dengan ini, kita dapat periksa bahwa 3 100  1 (mod 1000) dan sekarang kita
ingin temukan sisa bagi dari 2002 2001 oleh 100.

Sekarang 2002 2001  2 2001 (mod 100)  4  2 1999 (mod 4  25), jadi kita akan
menyelidiki pangkat dari 2 modulo 25. Ingat bahwa 2 10 = 1024  –1 (mod
25), kita peroleh

9
10 199
2 1999 = (2 )  2  (–1) 199  512  –12  13 (mod 25)
Akibatnya 2 2001  4  13 = 52 (mod 10). Dengan demikian 2002 2001 dapat
ditulis menjadi 100k + 52 untuk bilangan bulat k tertentu, maka

2001 52
2002
2003  3 (mod 1000)  1 – 20  13 + 1300  25  241 (mod 1000)
dengan menggunakan persamaan (1). Jadi, tiga digit terakhir dari 2003 2002 2001
adalah 241.

66 Wahyu