Page 74 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Teori Bilangan

n = 2  k + 2 = 2  840 + 2 = 1680 + 2 = 1682
3
n = 3  k + 2 = 3  840 + 2 = 2520 + 2 = 2522
4
n = 4  k + 2 = 4  840 + 2 = 3360 + 2 = 3362
5

Jadi, bilangan bulat positif ke-5 yang memenuhi adalah 3362.

4. Periksa kekongruenan berikut:
70
70
a. 2 + 3  0 mod 13.
b. 3 2009  3 mod 10
10
c. (207 – 41)  24 mod 100
5
2
d. 2  –1 mod 641
Jawab:
4
6 11
6
70
4
a. Kita peroleh 2  –1 mod 13. Sehingga 2  2  (2 )  –2  10 mod 13.
3
3
Kita peroleh 3  1 mod 13. Sehingga 3 70  3  (3 )1 23  3 mod 13.
70
70
Dengan demikian 2 + 3  10 + 3  0 mod 13.
4 502
4
b. Kita peroleh 3 = 81  1 mod 10. Sehingga 3 2009  3  (3 )  3  1 502  3
mod 10.
19
4
19
3
4 4
c. Kita peroleh 7 = 2401  1 mod 100. Sehingga 207  7  7  (7 )  7 3
 1 = 343  43 mod 100. Sehingga 207 – 41  2 mod 100, maka (207 –
19
4
10
10
41)  2 = 1024  24 mod 100.
7
7
4
4
d. Kita peroleh 641 = 5  2 + 1 = 5 + 2 . Sehingga 5  2  –1 mod 641 dan
5  –(2 ) mod 641. Maka kita peroleh 2 = 2 = 2  (2 )  –(5 )(2 ) 
5
7 4
2
4
4
4
32
4
7 4
5
(–1) = –1mod 641.
5. Tentukan angka satuan dari:
a. 9 1003 – 7 902 + 3 801 .
12
15
b. 223 – 44 .
Jawab:
4 4
3
12
12
a. Kita peroleh 223  3  (3 )  1  1 mod 10. Dengan cara yang sama,
3
44 15  4 15  4  4 mod 10. Sehingga 223 12 – 44 15  1 – 4  7 mod 10.
Jadi, angka satuannya adalah 7.
Siap OSN Matematika SMP 2015 65