Page 23 - Logika Matematika

1. Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk selalu bernilai benar walaupun dalam kondisi
apapun. Salah satu manfaat tautologi digunakan sebagai dasar dalam pengambilan keputusan

atau pembuktian matematis dan tautologi berlawanan dengan kontradiksi. Hal ini dapat

dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika.
Contoh 7: Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk (~p ⇒ q) ∨ ~p adalah tautologi.

Penyelesaian:
Karena ada dua pernyataan sederhana p dan q maka banyak tabel barisnya (kombinasi benar-

2
salah) ada sebanyak 2 = 4. Akan ditujukkan dengan Tabel Kebenaran bahwa pernyataan
majemuk (~p ⇒ q) ∨ ~p adalah Tautologi.
P Q ~p ~p ⇒ q (~p ⇒ q) ∨ ~p
B B S B B
B S S B B
S B B B B
S S B S B

2. Ekivalen
Pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika kolom yang

memberikan nilai kebenaran adalah sama. Salah satu cara menunjukkan apakah dua pernyataan
majemuk adalah ekuivalen yaitu dengan menggunakan tabel kebenaran. Pernyataan p ekivalen

dengan pernyataan q dapat ditulis sebagai p ≡ q. Adapun sifat-sifat pernyataan-pernyataan yang
ekivalen (berekivalensi logis) sebagai berikut:

(1) p ≡ p;

(2) jika p ≡ q maka q ≡ p;
(3) jika p ≡ q dan q ≡ r maka p ≡ r.

Sifat pertama berarti bahwa setiap pernyataan selalu mempunyai nilai kebenaran yang
sama dengan dirinya sendiri. Sifat kedua berarti bahwa jika suatu pernyataan mempunyai nilai

kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan yang lain, maka tentu berlaku sebaliknya.

Sedangkan sifat ketiga berarti bahwa jika pernyataan pertama mempunyai nilai kebenaran yang
sama dengan pernyataan kedua dan pernyataan kedua mempunyai nilai kebenaran yang sama

dengan pernyataan ketiga maka nilai kebenaran pernyataan pertama adalah sama dengan nilai
kebenaran pernyataan ketiga.

Jika pernyataan tertentu p ekivalen dengan pernyataan q, maka pernyataan p dan q dapat

saling ditukar dalam pembuktian. Ingat pada pernyataan “segi tiga sama sisi” yang ekivalen
dengan “segi tiga yang sudutnya sama besar”. Dalam pembuktian pada geometri sering kali

22