Page 29 - Matematika_XI_Siswa

Karena 11 – 6 habis dibagi 5, maka dapat kita misalkan 11 – 6 = 5m,
k
k
untuk m bilangan bulat positif. Akibatnya, 11 = 5m + 6.
k
Bentuk 11 k + 1 – 6 = 11 (11) – 6,
k
= (5m + 6)(11) – 6 (karena 11 = 5m + 6)
k
= 55m + 60
= 5(11m + 12).
Dengan demikian P(k + 1) = 11 (k + 1) – 6 dapat dinyatakan sebagai kelipatan
5, yaitu 5(11m + 12).
Jadi benar bahwa P(k + 1) = 11 (k + 1) – 6 habis dibagi 5.

Karena P(n) = 11 – 6 memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka
n
terbukti P(n) = 11 – 6 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli.
n
Contoh 1.6

Untuk n bilangan asli, x ≠ y, buktikan dengan induksi matematika bahwa
x – y habis dibagi (x – y).
n
n
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan P(n) = x – y .
n
n
Untuk membuktikan P(n) = x – y habis dibagi (x – y), artinya P(n) dapat
n
n
dituliskan sebagai kelipatan x – y. Oleh karena itu, akan ditunjukkan P(n)
= x – y memenuhi kedua prinsip induksi matematika.
n
n
a) Langkah Awal
Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – y = (x – y) × 1.
Demikian halnya untuk n = 2 diperoleh bahwa x – y = (x – y)(x + y).
2
2
Artinya jelas bahwa P(2) = x – y habis dibagi (x – y).
2
2
b) Langkah Induksi
Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2)
benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi
yang diperoleh untuk n ≥ 3.
• Untuk n = 3, maka x – y = (x – y)(x + xy + y ).
2
3
3
2
• Untuk n = 4, maka x – y = (x – y)(x + x y + xy + y ).
3
2
2
4
4
3
• Untuk n = 5, maka x – y = (x – y)(x + x y + x y + xy + y ).
4
5
3
2 2
5
3
4
MATEMATIKA 19