Page 31 - Matematika_XI_Siswa

Contoh 1.7

Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + . . . + n > n 3 , untuk setiap n bilangan asli.
2
2
2
2
3
Alternatif Penyelesaian:
n 3
Misalkan P(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n > , n ∈ N.
2
2
2
2
3
Akan ditunjukkan bahwa P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika.
a) Langkah Awal
27
Untuk n = 3, maka P(3) = 1 + 2 + 3 = 14 > .
2
2
2
Terbukti bahwa P(3) benar. 3
b) Langkah Induksi
64
Karena P(3) benar, maka P(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 30 > , juga benar.
2
2
2
2
3
Demikian seterusnya hingga dapat disimpulkan bahwa untuk n = k
k 3
P(k) = 1 + 2 + 3 + . . . + k > adalah benar.
2
2
2
2
3
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1, maka
(k + ) 1 3
P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1) >
2
2
2
2
3
Karena 1 + 2 + 3 + . . . + k > k 3 , jika kedua ruas ditambahkan (k + 1) ,
2
2
2
2
2
3
k 3
diperoleh 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) > + (k + 1) 2
2
2
2
2
2
3
⇔ P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) > k + 3 3k + 2 6k + 3
2
2
2
2
2
3
⇔ P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) > (k + 1) + 3 3k + 2
2
2
2
2
2
3
(k + 1) + 3 3k + 2 (k + 1) 3 3k + 2 (k + 1) 3
Padahal = + > , untuk setiap k bilangan
3 3 3 3
bulat positif.
(k + 1) 3
Akibatnya, P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) > .
2
2
2
2
2
3
MATEMATIKA 21