Page 32 - Matematika_XI_Siswa

Dengan demikian terbukti bahwa, P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + . . . + k
2
2
2
2
+ (k + 1) > (k + 1) 3 adalah benar.
2
3
n 3
Karena P(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n > memenuhi kedua prinsip induksi
2
2
2
2
3
matematika, maka formula P(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n > n 3 adalah benar,
2
2
2
2
untuk setiap n bilangan asli. 3
Contoh 1.8
Diberikan x = 1 dan x = 1 2x , n bilangan asli.
+
n
n + 1
1
Buktikan bahwa x < 4, untuk setiap n ≥ 1.
n
Alternatif Penyelesaian:
Dengan x = 1, kita dapat menentukan nilai untuk setiap x , n ≥ 1.
1
n
Akan ditunjukkan bahwa P(n) = x < 4 dengan x = 1 2x+ , x = 1, n ≥ 1
n
memenuhi kedua prinsip induksi matematika. n + 1 n 1
a) Langkah Awal
Untuk n = 1, diperoleh P(2) = x = 1 2x+ = 1 2.(1) = 3 .
+
2 1
Akibatnya P(2) = x = 3 , dan 3 < 16 .
2
Dengan demikian terbukti bahwa P(2) = x = 3 < 4.
2
b) Langkah Induksi
9
+
+
+
P(3) = x = 12 x = 12 3 < 1 2 4 = 4 . Dengan demikian
3
2
diperoleh P(3) benar.
Dengan cara yang sama, karena P(4) benar maka P(5) benar. Demikian
+
seterusnya hingga disimpulkan Pk () = x = 12 x k−1 < 4 .
k
+
Untuk n = k + 1, maka x ( k+ )+11 = x k+2 = 12. x k+1 . Selanjutnya akan
+
ditunjukkan bahwa x k+2 = 12. x k+1 < 4 .
Jika kita mengkaji lebih jauh hubungan antar suku-suku barisan x , dapat
i
dituliskan bahwa:
9
+
+
+
• Jika k = 3, maka x = 12 x = 12 3 < 1 2 = 4 .
4
3
4
22 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK