Page 30 - Matematika_XI_Siswa

Dari pola tersebut, tentu kamu dapat menyimpulkan pola hasil bagi yang
akan ditemukan, sedemikian sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa
untuk n = k, maka P(k) = x – y = (x – y)(x k – 1 0 k – 2 1 k – 3 2
y + . . .
y + x
y + x
k
k
+ x y ).
0 k – 1
k
Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = x – y habis dibagi x – y.
k
Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = x k – 1 – y k – 1 juga
habis dibagi (x – y), (kenapa?).
Untuk mempermudah dalam penulisan, kita misalkan
q = (x k – 1 0 k – 2 1 k – 3 2 0 k – 1 ) dan r = (x – y), sehingga x – y
y + . . . + x y
y + x
y + x
k
k
= (r)(q).
Akibatnya, x = (r)(q) + y dan y = x – (r)(q).
k
k
k
k
Karena x = (r)(q) + y , maka x·x = x k + 1 = (x)(r)(q) + (x)(y ), (1.a)
k
k
k
k
y = x – (r)(q), maka y·y = y k + 1 = yx – (y)(r)(q) (1.b)
k
k
k
k
Dari Persamaan (1.a) dan (1.b), diperoleh,
x k + 1 – y k + 1 = [(x)(r)(q) + (x)(y )] – [yx – (y)(r)(q)]
k
k
= (r)(q)[x + y] + (x)(y ) – (y)(x )
k
k
= (x + y)(r)(q) – [(x)(y)(x k – 1 ) – (x)(y)(y k – 1 )]
= (x + y)(r)(q) – (x)(y)[x k – 1 – y k – 1 ]
Oleh karena itu, x k + 1 – y k + 1 = (x + y)(r)(q) – (x)(y)[x k – 1 – y k – 1 ].
(x + y)(r)(q) habis dibagi (x – y) karena r = x – y, dan [x k – 1 – y k – 1 ] juga habis
dibagi (x – y), maka (x + y)(r)(q) – (x)(y)[x k – 1 – y k – 1 ] habis dibagi (x – y).
Dengan demikian, P(k + 1) = x k + 1 – y k + 1 habis dibagi (x – y).
Karena P(n) = x – y memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka
n
n
terbukti bahwa P(n) = x – y habis dibagi (x – y), dengan x ≠ y dan n bilangan
n
n
asli.

1.3.3 Penerapan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan
(Ketaksamaan)
Pada subbab ini, kita memperluas kajian penerapan Prinsip Induksi
Matematika dalam formula yang dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan
matematik. Untuk lebih jelasnya mari kita cermati contoh berikut ini.

20 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK