Page 10 - EbooK MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII Yovy shelviani

Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan
besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan
mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :

lim cos x = 1 dan lim sin x = 0
x→0 x→0
Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik
B. Jadi jelas bahwa : Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP
Berdasarkan rumus luas :
2
2
Luas sektor OBC = ½. (OB) . X = ½. Cos x. x
Luas Δ OBP = ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x
2
2
Luas sektor OAP = ½. (OA) . X = ½. (1) . X= ½ x
Dengan demikian diperoleh hubungan
2
2
½. Cos x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤ ½ x (masing-masing dikalikan ) diperoleh
x. cos x
sin x 1
cos x ≤ ≤ : untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:
x cos x
sin x x
1  lim  1 atau 1  lim  1
x→0 x x→0 sin x
x sin x
Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: lim = lim = 1
x →0 sin x x →0 x

Kegiatan 1.3

Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:

x tan x
• lim = lim = 1
x →0 tan x x →0 x
Bukti:
x x 1 sin x
lim = lim = lim lim = (....)(...) = ...
x→0 tan x x→0 sin x x→0 ........ x→0 ...
cos x

ax sin ax a ax tan ax a
• lim = lim = atau lim = lim =
x→0 sin bx x→0 bx b x→0 tan bx x→0 bx b

Bukti :

8 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII