Page 117 - MODUL TEORI PELUANG_FULL_FLIPBOOK
P. 117
B. Uraian Umum Kebebasan Stokastik
Jika fkp bersyarat dari Ä bila diketahui =
tidak bergantung dari
,
maka (
, e) = (
) (e). Berikut definisinya
!
Definisi 6.2.1
Dua peubah acak malar dan Ä dengan fkp gabungan (
, e) dan masing-
masing fkp marginal (
) untuk dan (e) untuk Ä dikatakan bebas
!
stokastik jika (
, e) = (
) (e).
!
Teorema 6.2.1
Misalkan fkp gabungan dari dan Ä adalah (
, e), maka dan Ä bebas
stokastik jika dan hanya jika terdapat fungsi non-negatif µ(
) dan ℎ(e)
sehingga
(
, e) = µ(
)ℎ(e)
Bukti
Misalkan dan Ä bebas stokastik. Jadi, (
, e) = (
) (e). Dalam hal ini,
!
mengambil µ(
) = (
) dan ℎ(e) = (e). Dengan demikian (
, e) =
!
(
) (e) = µ(
)ℎ(e). Selanjutnya, misalkan (
, e) = µ(
)ℎ(e). Dengan
!
µ(
) ≥ 0 dan ℎ(
) ≥ 0. Akan dibuktikan dan Ä bebas stokastik. Untuk itu,
kita mencari terlebih dahulu (
) dan (e).
!
% % %
(
) = (
, e)/e = µ(
)ℎ(e)/e = µ(
) ℎ(e)/e
P% P% P%
%
Misalkan r = ℎ(e)/e suatu konstanta, maka (
) = r ∙ µ(
)
P%
% % %
(e) = (
, e)/
= µ(
)ℎ(e)/
= ℎ(e) µ(
)/
!
P% P% P%
%
Misalkan ÷ = µ(
) /
suatu konstanta, maka (
) = ÷ ∙ ℎ(e)
P% !
Selanjutnya,
% %
r÷ = ℎ(e)/e µ(
) /
P% P%
% %
= µ(
)ℎ(e) /e /
P% P%
% %
= (
, e) /e /
= 1
P% P%
105
