Page 99 - E-MODUL FUNGSI DAN LIMIT DENGAN PENDEKATAN KONSTRUKTIVISME DAN PEMECAHAN MASALAH JOHN DEWEY

Tahap Mencoba
Dijawab: Kita tidak menggunakan bilangan-bilangan tak positif karena f tak terdefinisi di

bilangan-bilangan tersebut. Kemudian untuk setiap bilangan positif, fungsi-fungsi
2
3
√ , √ , | | dan semuanya kontinu berdasarkan teorema 12 dan 13.
Tahap Evaluasi

3
2
Jadi fungsi ( ) = (3| | − )/(√ + √ ) adalah kontinu di setiap bilangan positif.

Tahap Diskusi

Buktikan teorema berikut:

Teorema 15 (Teorema limit komposit)

Jika lim ( ) = dan f kontinu di titik L, maka
→
lim ( ( )) = (lim ( )) = ( )
→ →
Khususnya, jika kontinu di c dan f kontinu di ( ), maka fungsi komposit ∘
kontinu di c.

Kemudian dilanjutkan pembuktian terkait fungsi komposit ∘ kontinu di c.
Bukti:

Dipunyai kontinu di c dan f kontinu di ( ).

g(x) = y dan g(c) = L.
Ambil sembarang ε > 0.

Pilih > 0 dan > 0 sehingga
1
2
| ( ) − ( )| < ε apabila | − | < dan | ( ) − | < apabila | − | <
1
2
1
Pilih =
2
Jelas | ( ) − | < ⇔ | − | <
1
1
| ( ) − ( )| < ε ⇔ | ( ( )) − ( ( ))| < ε
Untuk setiap ε > 0 terdapat > 0 sehingga | ( ( )) − ( ( )| < ε apabila | − | <

.
Jadi lim ( ( )) = ( ( )), sehingga ∘ kontinu di c.
→

90