Page 280 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
280

4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ)
Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε χ
ισχύει

xf(x)+ 1-ημx= 1+ημx,
να βρείτε το τύπο της.

● Για χ 0 η δοσμένη σχέσ η
γίνεται
1+ημx- 1-ημx
f(x)= (1)
x

● Αφού η f είναι συνεχής
στο , άρα και στο 0,
τότε

f(0)= limf(x)
x 0
1+ημx- 1-ημx
= lim
x 0 x

2
( 1+ημx) -( 1-ημx) 2
= lim
x 0 x( 1+ημx + 1-ημx)
(1+ημx)-(1-ημx)
= lim
x 0 x( 1+ημx + 1-ημx)
2ημx
= lim
x 0 x( 1+ημx + 1-ημx)
ημx 1
= 2× lim ×
x 0 x 1+ημx + 1-ημx

= 2× 1× 1 = 1 (2)
2

Από τις (1) και (2) προκύπτει
1+ημx- 1-ημx , αν x 0

f(x)= x
1 , αν x= 0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017