Page 281 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
281

5 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ)
α) Να εξετάσετε αν είναι συνεχής η συνάρτηση
f(x)=e (x +1) -ln(x +1)
2
2
x
β) Αν για κάθε χ ισχύει g(x)+g(x+1)=4x +4x+8 και η g
2

είναι συνεχής στο 0, με g(0)=3,
να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο 1.
γ) Να δείξετε οτι η συνάρτηση h είναι συνεχής στο χ 0, όταν

για κάθε χ ισχύει | h(3x-5)| | 3x-7|, x =2
0

a)
x
● e (x +1) συνεχής
2
(γινόμενο συνεχών συ-
ναρτήσεων)
● ln(x +1) συνεχής
2
(σύνθεση της πολυωνυ-
2
μικής x +1 με τη λογα-
ριθμική lnx)
Άρα, η f είναι συνεχής
β)
Για χ=0 είναι

g(0) = 3
g(0)+g(0+1)= 8 `

g(1)= 5 (1)
Λόγω της συνέχειας στο 0 είναι limg(x)=g(0)=3 (2)
x 0
Θέτουμε x-1=u~x=u+1 και χ 1 τότε u 0
Έτσι
limg(x)= limg(u+1)= limg(u+1)= lim[4x +4x+8-g(u)]
2
x 1 u 0 u 0 u 0
(2) (1)
= 8- limg(u)= 8-3= 5=g(1)
u 0
γ)
y+5
Θέτουμε y= 3x-5 x= στη δοσμένη σχέση που γίνεται:
3
y+5 y+5 x = y
| h(3 -5)| | 3 -7| | h(y)| | y-2| | h(x)| | x-2| (3)
3 3
Για χ=2 η (3) δινει: h(2)=0
Όμως
lim| h(x)| lim| x-2| `lim| h(x)| 0`lim| h(x)| =0`limh(x) =0
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Δηλαδή, lim h(x) =h(2)=0
x 2
που σημαίνει ότι η h είναι συνεχής στο x 0 =2.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017