Page 400 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 400

1. ΕΠΙΛΟΓΗΣ
α ) Αν για την συνάρτηση f : ισχύει :
| f(x)-x | (x-1) για κάθε χ , να δείξετε ότι η f εί-
2
2

.
ναι παραγωγίσιμη στο x 0
β ) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : * ισχύουν :
1
f'(x)= 2+ , για κάθε x * και f(1) = f(-1) = 3
x
1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f(x)-2x–ln|x|
είναι σταθερή σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου

ορισμού της
2) Να βρείτε τον τύπο της f
γ ) Αν για την συνάρτηση h(x)=x 4 +2x 3 +αx, χ , ισχύει
h(x) ≥ α + 3 για κάθε χ , να βρείτε τον αριθμό α και
μετά να μελετήσετε την h ως προς την μονοτονία και
τα ακρότατα.

α)
Για τη συνάρτηση f:
ισχύει :
| f(x)-x | ( x-1 ) (1)
2
2
Από την (1), για x = 1, έ-
χουμε :
0 | f(1)-1| 0

| f(1)-1|=0`
f(1)-1=0 f(1)=1

Από την (1), για x ≠ 1, έ-
χουμε :
f(1 ) = 1
| f(x)-x | | x-1| 2
2

|x -1 | > 0
| f(x)-f(1)+1-x | | x-1| 2
2
2
| f(x)-f(1)-(x -1)| | x-1|
x-1
2
| f(x)-f(1)-(x -1)| | x-1| f(x)-f(1) -(x+1) | x-1|
x-1 x-1

f(x)-f(1)
-| x-1| -(x+1) | x-1|
x-1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017