Page 405 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 405

3. ΕΠΙΛΟΓΗΣ
α) Αν υπάρχουν στο τα όρια
f(x +h)-f(x ) f(x )-f(x -h)
lim 0 0 και lim 0 0 , χ 0
h 0 + h h 0 + h
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο χ 0 .
β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει
f(lnx )=x lnx-x, για κάθε χ>0
2
2

1) Να αποδείξετε ότι το γράφημα της f' διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
2) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφι -
κής παράστασης της f στο σημείο Α(1, f(1))
3) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχη -
ματίζει η εφαπτομένη της εφαπτομένης της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο Α(1, f(1)) και τους άξο-
νες χ'χ και y'y.

α)
● Θέτουμε
● x=x +h x-x =h
0 0
h 0 + x x +
0
f(x)-f(x )
● g(x)= 0
x-x
0
έστω
f(x +h)-f(x )
κ= lim 0 0
h 0 + h

= lim f(x)-f(x )
0
x x 0 + x-x
0
συνεπώς
f(x)-f(x )= g(x)(x-x )
0
0
f(x)= f(x )+g(x)(x-x )
0
0
lim f(x)= lim [f(x )+g(x)(x-x )]
x x 0 + x x 0 + 0 0
lim f(x)= f(x )+κ× 0 lim f(x)= f(x ) ( 1)
x x + 0 x x + 0
0 0
● Θέτουμε
● x=x -h - (x-x )=h και h 0 + x x 0 -
0
0
f(x)-f(x )
● p(x)= 0
x-x 0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017