Page 406 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 406

έστω
f(x )-f(x -h) f(x )-f(x) f(x)-f(x )
λ= lim 0 0 = lim 0 = lim 0
h 0 + h x x 0 - - (x-x ) x x 0 - x-x
0 0
συνεπώς
f(x)-f(x )= p(x)(x-x ) f(x)= f(x )+p(x)(x-x )
0 0 0 0
lim f(x)= lim [f(x )+p(x)(x-x )] lim f(x)= f(x )+λ× 0
x x 0 - x x 0 - 0 0 x x 0 - 0
lim f(x)= f(x ) (2)
x x 0 - 0
Από (1), (2): lim f(x)=f(x )= lim f(x)
x x 0 + 0 x x 0 -

που σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο χ 0

β1)
Για κάθε χ>0 είναι

(f(lnx ))' =(x 2 × lnx-x)' f'(lnx )×(lnx )' = 2xlnx+x 2 × 1 -1
2
2
2
x
1 1 1 x = 1
f'(lnx )× × 2x= 2xlnx+x × -1 2f'(lnx )× = 2xlnx+x-1
2
2
2
x 2 x x
2f'(0)= 2ln1+1-1 f'(0)= 0
που σημαίνει ότι το γράφημα της f' διέρχεται α π ό την αρχή
των αξόνων

β2)
Η ζητούμενη εξίσωση είναι: y-f(1)=f'(1)(x-1) (3)
Eτσι, η δοσμένη σχέση για x= e
2
● f(ln e )= e 2 × ln e- e f(1)= 1 e- e
2

2
● 2f'(ln e ) 1 = 2 e× ln e + e-1 2f'(1)= 2e- e f'(1)= e- e
e 2
συνεπώς η (3)

1 e 2e- e e+ e
y-( e- e )=(e- )(x-1) y= x- (4)
2 2 2 2
β3)
Για x= 0 η (4): y=- e+ e
2

Για y= 0 η (4): x= e+ e
2e- e
e+ e e+ e 1 (e+ e) 2
E= × × = τ.μ.
2 2e- e 2 4(2e- e)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017