Page 401 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 401

f(x)-f(1)
(x+1) -| x-1| (x+1) +| x-1| (2)
x-1
'Όμως

● lim (x+1 ) -| x-1| =1+1-0=2 και
x 1
● lim (x+1) +| x-1| =1+1-0=2
x 1
Και λόγω της (2) (από κριτήριο παρεμβολής) θα είναι και
f(x)-f(1)
lim =2
x 1 x-1
Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 1 με f’(1) = 2

β1)
Η συνάρτηση g(x) = f(x) - 2x -ln|x| ορίζεται στο * και σαν
άθροισμα πάραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη
στο * με
1 1
g’ ( x) = f’ ( x) – 2 - = 0 (αφού f’ ( x) = 2x + α π ό υπόθέση).
x x
Επομένως η συνάρτηση g ως συνεχής στο (- , 0) με
g’ ( x) = 0 για κάθε x (- , 0), η g είναι σταθερή στο (- , 0).
Όμοια και στο (- , 0).

Άρα η g είναι σταθερή σε καθένα α π ό τα διαστήματα του πεδί-
ου ορισμού της.

β2)
Αφού η g είναι σταθερή στο (- , 0), θα υπάρχει σταθερός

αριθμός c 1 (- , 0), τέτοιος ώστε
g(x) = c 1 f(x)-2x-ln| x|=c (3)
1
Για x = - 1 η (3) δίνει :
f(- 1)+2-ln1=c c 1 = 5 (f(- 1) = 3).
1
Επομένως η (3) γίνεται :

f(x)-2x-ln| x|=5 f(x)=2x+ln| x| + 5 για κάθε x (- , 0) .
Ομοιa, αφού g είναι σταθερή στο (0, + ∞) υπάρχει σταθερός

αριθμός c 2 (0, + ) , ώστε
g(x) = c 2 f(x)-2x-ln| x|=c .
2

Όμοιa f(1) = 3 και για x = 1 : f(1)-2-ln1=c c =1, οπότε
2 2
f(x)-2x-ln| x|=1 f(x)=2x+ln| x| +1

2x+ln| x| + 5, x< 0
Άρα ο τύπος της f είναι : f(x)=
2x+ln| x| + 1, x> 0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017