Page 402 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 402

γ)
Από τον τύπο της συνάρτησης h(x) = x + 2x 3 + αx,
4
x (- , 0), έχουμε
h(1) = 3 + α,

οπότε η δοσμένη σχέση h(x) ≥ α + 3 γίνεται
h(x) h(1) (1) για κάθε x (- , 0), που σημαίνει ότι
η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x 0 = 1 και
επειδή είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 1 (πολυωνυμική) θα ισχύει
(θεώρημα Fermat) h’(1) = 0 .
Όμως h’ (x)=4x +6x +α οπότε
2
3
h’(1) = 0 4 + 6 + α = 0 α = - 10
Για α = - 10

3
3
4
h(x)=x +2x -10x και h’ ( x) = 4x + 6x - 10
Horner
= (x - 1)(4x + 4x + 10)
2
h’ ( x) = 0 x = 1
(αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου 4x 2 + 4x + 10 είναι
Δ = 16 – 160 < 0).
Αφού h’ ( x) > 0 για x > 1 και h’ ( x) < 0 για x < 1 και η h συνεχής

στο , τότε
τ ο π ρ όσημ ο της h' και η μονοτονία της h φαίνονται στο πίνακα

● η h είναι γνήσια αύξουσα στο [1, + )
● η h είναι γνήσια φθίνουσα στο (- , 1]
● παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x 0 = 1 με τιμή h(1) = - 7
(h’(1) = 0)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017