Page 408 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 408

σιμη στο , με
χ
χ
● φ'(χ)=(e +2χ+1)'= e +2>0
συνεπώς η φ είναι γνησίως αύξουσα στο .
Ακόμη
● Η φ είναι συνεχής (παραγωγίσιμη στο ) στο , άρα και στο
[-1, 0)

● φ(- 1) φ(0)= 1 -1 × 2= 2(1-e) 1 < e
< 0
e e
Από τα πάραπάνω, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει
μοναδικό α (-1, 0), τέτοιο, ώστε
φ(α)=0` e +2α+1=0
α

γ1)
Είναι
2
x
● h(x)=f(x)-g(x)= e +x +x
● h'(x)=(e +x +x)'= e +2x+1
x
2
x
● h'(x)=0` e +2x+1=0 αν x=a (α π ό ε ρ ώτημα (β))
x
● h'(x)>0` e +2x+1>0 αν x>a (άθροισμα θετικων)
x
● h'(x)<0` e +2x+1<0 α ν x<a (e <1)
α
x

Η h παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση χ=α, συνεπώς
( )
2
α
h(x) h(α)~ h(x) e +α +α
2
2
h(x) -2α-1+α +α ~ h(x) α -α-1, χ

γ2)
Είναι
h(x)=2017~ e +x +x-2017=0
2
x
x
2
Θεωρούμε τη συνάρτηση H(χ)= e +x +x-2017, παραγωγίσιμη
στο μ ε
H'(χ)= e +2x+1 και H''(χ)= e +2 0
x
x
Η(0)= e 0 0 2 0 2017 - 2016 < 0

lim Η(x)= lim ( e x x 2 x 2017) +
x + x +

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017