Page 413 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 413

και η (1) δίνει
x
x
f'(x)= e -1 f'(x)= (e -x)' f'(x)=(ln(e -x))'
x
e -x e -x
x
x
f(x)= ln(e -x)+c, x
x
Όμως, για χ=0
f(0)=ln(e -0)+c` 0=ln1+c` c=0
0
Άρα
f(x)=ln(e -x), x
x

β )
Για κάθε x
e -1
x
f'(x)=
e -x
x
● f'(x) 0``e -1 0`χ 0
x
● f'(x)<0`e -1<0`χ<0
x
το πρόσημο της f' και η μονο-
τονία της f φαίνονται στο δι-

πλανό πίνακα
H συνάρτηση f
● είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (- , 0]
● είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,+ )
● παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση χ=0 με τιμή f(0)=0

γ )
Για κάθε x
e (e -x)-(e -x)(e -1) e 2x -xe - e 2x +2e -1)
x
x
x
x
x
x
f"(x)= =
(e -x) 2 (e -x) 2
x
x

2e -xe -1
x
x
=
x
(e -x) 2
Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με τύπο g(x)=2e -xe -1, x
x
x
παραγωγίσιμη για κάθε x , μ ε
g'(x)=2e -e -xe -1
x
x
x
=e -xe -1= e (1-x)
x
x
x
● g'(x) 0`1-x 0`χ 1
● g'(x)<0`1-x <0`χ>1
το πρόσημο της g' και η μονο-
τονία της g φαίνονται στο δι-
πλανό πίνακα

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017