Page 415 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 415

ρ 1 και ρ 2.

δ)
Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ)=ln(e -x)-συνχ
x
π
● Η φ είναι συνεχής στο [0, ] (διαφορά συνεχών)
2
φ(0)= ln1-συν0=-1< 0
π
● π π π π π (*) φ(0)φ( )< 0
φ( )= ln(e - )-συν = f( )>0 2
2
2 2 2 2
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, εξίσωση φ(χ)=0 έχει μία
π
τουλάχιστον λύση στο 0, 2 που είναι μοναδική γιατί:
ημx> 0, x

e -x> 0 (α)
x
x> 0 e > e 0 e > 1 e -1> 0
x
x
x
Έτσι
x
e -1 π
φ'(x)= +ημx> 0 και η φ γνησίως αύξουσα στο [0, ]
e -x 2
x
(*)
π
x = 2 π
Η f έχει ελάχιστο για χ=0 και f(x) f(0)=0 ~ f 0
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017