Page 414 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 414

● H g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Α 1=(- , 1],
οπότε g(Α 1)= ( lim g(x), g(1)]=(- 1, e-1]
x -
● H g συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Α 2=[1,+ ),
οπότε
g( Α 2)= ( limg(x), g(1)]=(- , e-1]
x
Αφού
lim g(x)= lim (2e -xe -1)=-1
x
x
x x
lim 2e =0
x
x
-x x x' 1
lim (-xe )= lim =- lim = - lim =- lim = 0,
x
x - x - e -x x - e -x x - (e )' x - - e -x
-x
( lim e -x = + )
x -
lim g(x)= lim (2e -xe -1)= lim [e (2-x)-1]=- -1=-
x
x
x
x + x + x +
lim e = +
x
x
lim (2-x)=-
x
● 0 g( Α 1), έτσι η g(χ)=0 έχει μοναδική λύση στο Α 1=(- , 1]
(g γν.αύξουσα)
Αν ρ 1 η λύση στο Α 1=(- , 1], τότε για κάθε χ Α 1
χ < ρ 1` g(χ)<g( ρ 1), άρα f''(x)<0
χ > ρ 1` g(χ)>g( ρ 1), άρα f''(x)>0

To πρόσημο της g είναι το πρόσημο της f'', αφού
φ''(χ)=g(x)(e -x) - 2 ,
x
δηλαδή η g αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της λύσης ρ 1,
οπότε ρ 1 είναι θέση σημείου καμπης.
● 0 g( Α 2), έτσι η g(χ)=0 έχει μοναδική λύση στο Α 2=[1,+ ),
(g γν.φθίνουσα)
Αν [1,+ ), λύση στο Α 2=[1,+ ), τότε για κάθε χ Α 2

χ < ρ 2` g(χ)>g( ρ 2), άρα
f''(x)>0
χ > ρ 2` g(χ)<g( ρ 2), άρα
f''(x)<0
To πρόσημο της g είναι το
πρόσημο της f'', αφού
x
φ''(χ)=g(x)(e -x) - 2 ,
δηλαδή η g αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της λύσης ρ 2,
οπότε ρ 2 είναι θέση σημείου καμπης.
Επομένως, η f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής στις θέσεις

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017