Page 418 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 418

8. ΕΠΙΛΟΓΗΣ
π π
,
Δίνεται η συνάρτηση f : - 2 2 με

2
f(x) = ln(συν x) + x 2 + 1
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα
x 2 2
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση e = 1 + εφ x (1) έχει δύο
ακριβώς ρίζες στο διάστημα - π , π οι οποίες είναι
2 2
ετερόσημες.
γ) Να μελετήσετε την f' ως προς τη κυρτότητα και τα

σημεία καμπής.

α)
Η f είναι παραγωγίσιμη στο
π π
διάστημα - , με
2 2

● f'(x) = 1 ×(συν x)' +
2
2
συν x
+ 2x
- 2συνx ημx
= + 2x
2
συν x
= -2εφx+2x
2
● f''(x) = - + 2
συν x
2
1-συν x
2
= -2 ∙
2
συν x
ημ x
2
2
= - 2 = - 2εφ x<0
συν x
2
π π
για κάθε x - ,
2 2
π π
Άρα f'(x) γν.φθίνουσα στο - ,
2 2
f’(0) = - 2εφ0 + 2 0=0~x = 0 μοναδική ρίζα της f'.
● για x > 0 (f' γνησίως φθίνουσα):
π
f'(x)<f'(0)~ f'(x)<0~ f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017