Page 422 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 422

β )
Είναι
lnx x-2xlnx 1-2lnx 2x 3 +2lnx-1 f(x)
g'(x)= 2x- ' = 2- = 2- = = ,
x 2 x 4 x 3 x 3 x 3

για κάθε χ>0
Το πρόσημο της g'(x) είναι το ίδιο με το πρόσημο της f(x)
Έτσι
● για 0<χ<α
f(χ)<0~g'(x)<0 οπότε η g γνησίως φθίνουσα
● για χ>α
f(χ)>0~g'(x)>0 οπότε η g γνησίως αύξουσα

Η g παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση χ=α, οπότε
ln 2α -ln
3
● g(x) g(α) g(x) 2α- g(x) (1)
2 2
● Όμως
f(α)=0 2α +2lnα-1=0 2α -lnα=1-3lnα (2)
3
3
Από τις (1) και (2) προκύπτει
1-3lnα
g(x) ~α 2 × g(x)+3lnα 1
α 2

γ )
Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για τη g στο διάστημα [α, α+1] και
υπάρχει τουλάχιστον ένα κ (α, α+1), τέτοιο, ώστε

g(α+1)-g(α) f(κ) ln(α+1) lnα
g'(κ)= = 2(α+1)- - 2α-
α+1-α κ 3 (α+1) 2 α 2

f(κ) lnα ln(α+1)
= 2+ -
κ 3 α 2 (α+1) 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017