Page 419 - diaforikos
P. 419

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             419



                   ● για x < 0 (f' γνησίως φθίνουσα):
                       f'(x)>f'(0)~ f'(x)> 0~ f είναι γνησίως.αύξουσα στο
                         π
                        -    ,   0
                         2

                   Άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο x = 0 με τιμή f(0) = 1

                   β)
                   Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα
                                                                1
                          2  +  1
                                                    2
                                         2
                   lne  x  = ln(1 + εφ x)        x +1=ln
                                                             συν x
                                                                   2
                                                         ` x  2  + 1 = - ln(συν  x)
                                                                        2
                                                         ` ln(συν  x) + x  2  + 1 = 0
                                                           2
                                                         ` f(x) = 0

                   ●   lim f(x) =      lim  +  ln(συν x)+x +1
                                                      2
                                                             2
                           +
                      x     -   π    x     -    π
                         2               2
                       ●   lim συν x = 0
                                   2
                              +
                        x     -   π
                            2
                                                                     π
                          ● θέτω συν x = y τότε όταν x            -        y    0  οπότε
                                       2
                                                                    2
                                          2
                              lim  ln(συν  x) =  lim lny =-
                                +
                                                       +
                          x     -   π             y    0
                             2
                                                       π  2
                            άρα   lim f(x) = -      +      + 1 = -
                                     +
                               x    -  π                4
                                   2
                                                                     π
                          ● θετω συν x = y τότε όταν x            -        y    0  οπότε
                                       2
                                                                    2
                               lim ln(συν  x) = -
                                          2
                                -
                          x     -   π
                              2
                             άρα   lim f(x) = -
                                      -
                                x    -  π
                                    2
                   Τελικά  lim f(x) = -
                             x     -   π
                                 2
                                    π
                   ● Στο Α 1 =  -     ,   0  με f(A 1) = (-    , 1]
                                    2
                      0  f(A 1), άρα η   f(x) = 0 έχει μία   τουλάχιστον ρίζα στο διά-
                      στημα Α 1  και επειδή f γνησίως αύξουσα στο Α 1, η ρίζα είναι
                      μοναδική σ’αυτό.
                                      π
                   ● Στο Α 2 =  0,        με f(A 2) = (-       , 1]
                                      2




                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   414   415   416   417   418   419   420   421   422   423   424