Page 419 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 419

● για x < 0 (f' γνησίως φθίνουσα):
f'(x)>f'(0)~ f'(x)> 0~ f είναι γνησίως.αύξουσα στο
π
- , 0
2

Άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο x = 0 με τιμή f(0) = 1

β)
Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα
1
2 + 1
2
2
lne x = ln(1 + εφ x) x +1=ln
συν x
2
` x 2 + 1 = - ln(συν x)
2
` ln(συν x) + x 2 + 1 = 0
2
` f(x) = 0

● lim f(x) = lim + ln(συν x)+x +1
2
2
+
x - π x - π
2 2
● lim συν x = 0
2
+
x - π
2
π
● θέτω συν x = y τότε όταν x - y 0 οπότε
2
2
2
lim ln(συν x) = lim lny =-
+
+
x - π y 0
2
π 2
άρα lim f(x) = - + + 1 = -
+
x - π 4
2
π
● θετω συν x = y τότε όταν x - y 0 οπότε
2
2
lim ln(συν x) = -
2
-
x - π
2
άρα lim f(x) = -
-
x - π
2
Τελικά lim f(x) = -
x - π
2
π
● Στο Α 1 = - , 0 με f(A 1) = (- , 1]
2
0 f(A 1), άρα η f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διά-
στημα Α 1 και επειδή f γνησίως αύξουσα στο Α 1, η ρίζα είναι
μοναδική σ’αυτό.
π
● Στο Α 2 = 0, με f(A 2) = (- , 1]
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017