Page 416 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 416

7. ΕΠΙΛΟΓΗΣ
Δίνεται η συνάρτηση f : , δύο φορές παραγωγίσιμη
στο , η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

2
5f(x) - 3f(-x)=2χ -8χ, για κάθε x (1)
α) Nα αποδείξετε ότι: f(x)= χ -χ , x
2

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα
γ) Να βρείτε τις εξισωσεις των εφαπτομένων της καμπύ -
λης που άγονται από σημείο Μ του άξονα y'y, αν οι εφα-
πτομένες αυτές και η C f' συντρέχουν στο Μ.

α)

Είναι

5f(x)-3f(-x)=2x -8x
2
Θέτουμε όπου χ το -χ

Έτσι

5f(-x)-3f(x)= 2(- x) -
2
-8(- x)

5f(-x)-3f(x)= 2 x +8 x
2

5f(-x)= 3f(x)+2 x +8 x
2

3f(x)+2 x +8 x
2
f(- x)= (2)
5
Η (1) λόγω της (2):

3f(x)+2 x +8 x
2
5f(x)-3× = 2x -8x
2
5
25f(x)-9f(x)-6 x - 24 x= 10x -40x
2
2
16 f(x)= 16x -16x
2
f(x)= x -x
2

β )
Για κάθε x

f'(x)=2x-1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017