Page 412 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 412

6. ΕΠΙΛΟΓΗΣ
Δίνεται η συνάρτηση f : , δύο φορές παραγωγίσιμη
στο , η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
x
e (f'(x)+f''(x)-1)=f'(x)+xf''(x), για κάθε x .
α) Nα αποδείξετε ότι:
f(x)=ln(e -x), x
x

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακρι-
βώς δύο σημεία καμπής
x
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln(e -x)= συνχ έχει ακρι-
π
βώς μια λύση στο διάστημα 0, 2

α)

e (f'(x)+f"(x)-1)= f'(x)+
x
+xf"(x)`

x
x
e f'(x)+e f"(x)-e =
x

=(xf'(x))'`
(e f'(x)-e )' =(xf'(x))'`
x
x
e f'(x)-e = xf'(x)+c
x
x
Για χ=0 τότε
0
0
e f'(0)-e = 0× f'(0)+c

c=- 1
Έτσι
e f'(x)-e =xf'(x)-1 f'(x)(e -x)=e -1, x (1)
x
x
x
x
Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με τύπο h(x)=e -x, x
x
παραγωγίσιμη για κάθε x , μ ε
h'(x)=e -1
x
● h'(x) 0`e -1 0`χ 0
x
● h'(x)<0`e -1<0`χ<0
x
το πρόσημο της h' και η μονο-
τονία της h φαίνονται στο δι-

πλανό πίνακα
Η h παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση χ=0 και
h(x) h(0)=1>0~ e -x>0
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017