Page 411 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 411

1 < 0 αφου x > 0
-
1 1 x+1
= ln(x+1)-ln(x)- - 0
x x+1 ln(x+1) - ln(x) < απο (α1)
1
x
Δηλαδή,
η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0, + )

β )
Είναι
1 1
1 1 1 - 2
ln 1+ 0 ln 1+ ' 1+ x
1 (+ ) 0 x 0 x x
lim xln(1+ ) = lim = lim lim
x + x x 1 DLH x 1 ' x - 1
x x x 2
1 1
lim 1
x 1 1+0
1+
x

γ )
Είναι
(α+1) = α α+1 ln (α+1) = lnα α+1 ln (α+1)-(α+1)lnα= 0
α
α

f(α)= 0
Σύνολο τιμών

Συνολο τιμων :
lim f(x)= lim (xln(x+1)-(x+1)ln(x))= 0-(- )= +

x 0 x 0
lim f(x)= lim (xln(x+1)-(x+1)ln(x))
x x
= lim (xln(x+1)-xln(x)-ln(x))=
x
x+1 f(A)=
= lim (xln -ln(x))
x x
1 (β)
= lim xln 1+ -ln(x) =0-(+ )=-
x x
f γνησίως φθίνουσα στο (0, + )

Το 0 f(Α) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ),
α
υπάρχει μοναδική ρίζα της f(α)=0 ή (α+1) =α α+1 στο (0, + )

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017