Page 424 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 424

0
- e +xe +1 0 x
x
x
= lim = lim = 0
x
x
x 0 e +xe -1 x 0 2+x
δηλαδή η f παραγωγίσιμη στο x = 0 με f'(0) = 0
e 2x -2xe -1 , x 0
x
x
Άρα f'(x) = (e -1) 2
0 , x= 0

γ)
● Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = e 2 x - 2xe x - 1, x 0
H h είναι παραγωγίσιμη για x 0
(πράξεις πάραγωγίσιμων συναρτησεων) με
h'(x) = 2e 2 x - 2e x - 2xe x = 2e ∙ (e – x - 1)
x
x
● Θεωρούμε g(x) = e x - x - 1 , x 0
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη για x 0 με

g'(x) = e - 1 για x > 0 .
x
Όμως, e >1 g'(x)>0 άρα g γνησίως αύξουσα στο [0, + )
x
Δηλαδή
x > 0 ~ g(x) > g(0) = 0 ~ g(x)>0
Επομένως

h'(x) > 0 για κάθε x > 0, άρα h γνησίως αύξουσα στο [0, + )
x
● Για x > 0 h(x)>h(0)=0 h(x)>0 e 2x -2xe -1>0
● Για x = 0 ισχύει h(0) = 0 e 2x -2xe -1=0
x
Άρα για x 0 ισχύει :
e 2 x - 2xe – 1 0
x

δ)
Απ’ το (γ) για x > 0 είναι:
e 2 x - 2xe - 1 > 0
x
e 2x -2xe -1
x
Άρα f’ ( x) = > 0 για κάθε x > 0, επομένως
(e -1) 2
x
η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, + )

ε )
2e ×(x× e -2e +x+2)
x
x
x
f” ( x) =
(e -1) 3
x
Θεωρούμε τη συνάρτηση φ ( x) = xe - 2e + x + 2
x
x
Τότε
φ'(x) = xe – e + 1 και φ”(x) = xe
x
x
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017