Page 427 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 427

Α2)
x
● lim = 0
x 0 x+1

u = x
x+1
● lim ln x = lim lnu=-
+
x 0 + x+1 x 0 u 0 + u 0 +
x
● lim f(x)= lim 2x+ln =0+(- )=-
x 0 x 0 x+1
Επομένως

f γν. αύξουσα στο (0, + ) απο (Α1)
lim f(x)= + απο (Α1) ~
x +
lim f(x)=-
x 0
f((0, + ))=( lim f(x), lim f(x)) (- , + )
x 0 x +
0 (- , + ), άρα η f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία λύση, που
είναι μοναδικη αφού η f είναι γνησίως αύξουσα

Α3)

+ 1 -
lnx + x ln(x+1) + 1
● lim = lim =0 lim = lim =0
x + x DLH x + 1 x + x DLH x + x+1
f(x) lnx ln(x+1)
● lim = lim 2+ - = 2
x + x x + x x
x
● lim [f(x)-2x]= lim [lnx-ln(x+1)]= lim ln = 0
x + x + x + x+1
Άρα η ευθεια y=2x είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +
Είναι για x 1
x x x
x+1> x < 1 ln < 0 2x+ln < 2x f(x)< 2x
x+1 x+1 x+1
Άρα η C f βρίσκεται "κάτ ω " απ’ την ασύμπτωτη .

B1)
1 2x -1
2
g'(x)= 2- =
x 2 x 2
Είναι για x 1
2x -1 1
2
2
x 1 x 2 1 2x 2 2 2x -1 1 0 g'(x)> 0
χ 2 χ 2
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + )

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017