Page 430 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 430

Όμως g(-1) = 0 και g(2) = 0 οπότε
● g(x) g(-1) για κάθε x που σημαίνει ότι το g(-1) ολικό
(και τοπικό) ελάχιστο, το -1 εσωτερικό σημείο του και f
παραγωγίσιμη στο , άρα

από θεώρημα Fermat : g’ ( -1) = 0
● g(x) g(2) για κάθε x που σημαίνει ότι το g(2) ολικό (και
τοπικό) ελάχιστο, το 2 εσωτερικό σημείο του και f παρα-
γωγίσιμη στο , άρα
από θεώρημα Fermat : g’(2) = 0

Τελικά g’ ( -1) = g’(2) = 0

γ)
Εφαρμόζουμε για την g’ ( x) θεώρημα Rolle στα διαστήματα

[-1, ξ], [ξ, 2] όπου ξ (-1, 2)
(προέκυψε από το (α) ερώτημα) .
● Η g’ είναι συνεχής αφού είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα.
● g’ ( - 1) = g’(ξ) = 0 και
g’(ξ) = g’(2) = 0

Άρα υπάρχει ξ 1 (-1, ξ) : g”(ξ 1) = 0 και
ξ 2 (ξ, 2) : g’’(ξ 2) = 0

Οπότε g”(ξ 1) = g”(ξ 2) = 0.

δ)
Είναι g’ ( x) = f’ ( x) - 3x 2 + 6x + 1
Από (β) ερώτημα:
● g’ ( - 1) = 0 `f’ ( - 1) – 3 – 6 + 1 = 0`f’ ( - 1) = 8
● g’(2) = 0 `f’(2) – 12 + 12 + 1 = 0`f’(2) = - 1
Εφαρμόζοντας θεώρημα Bolzano για την συνεχή συνάρτηση
f’ ( x) στο διάστημα [-1, 2] προκύπτει ότι υπάρχει n (-1, 2)
τέτοιο ώστε :

f’ ( n) = 0
Άρα στο n (-1, 2) η γραφική παράσταση της f δέχεται ορι-
ζόντια εφαπτομένη.

ε)
Εφαρμόζουμε για την f’ ( x) Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [-1, n],
[n, 2] .

Ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. οπότε θα υπάρχει

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017