Page 435 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 435

a3)
Είναι
f(x) -f(0) xlnx +x
lim lim lim(lnx +1)
x 0 0 x 0 x 0
Δηλαδή, η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0

β )
Για κάθε χ (0, + ) η f είναι συνεχής μ ε
f'(x)=lnx +2
● f'(x) 0`lnx +2 0` lnx -2`x e - 2
● f'(x)<0`lnx +2<0` lnx <-2`x<e - 2
Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνονται στο
παρακάτω πίνακα

● H f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, e - 2 ]
● H f είναι γνησίως αύξουσα στο [e - 2 , + )
● H f παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση χ= e - 2 , με τιμή
f(e - 2 )=-e - 2

γ )
Για κάθε χ (0, + ) η f είναι συνεχής μ ε
1
f''(x)= >0
x
άρα η f είναι κυρτή στο (0, + )
Αν Α(χ 1, f(x 1)), B(x 2, f(x 2)) και Γ(χ 3, f(x 3)), συνευθειακά
σημεία της C f τότε

f(x )-f(x ) f(x )-f(x )
=λ ` 2 1 3 2 (1)
ΑΒ ΒΓ x -x x -x
2 1 3 2
Από Θ.Μ.Τ. για τη f στα διαστήματα [x 1, x 2], [x 2, x 3] υπάρ-

χουν ξ 1 (x 1, x 2) και ξ 2 (x 2, x 3), τέτοια, ώστε
f(x )-f(x ) (1) f(x )-f(x )
f'(ξ 1)= 2 1 3 2 f'(ξ 2), άτοπο
x -x 1 x -x 2
2
3
αφού f''(x)>0 που σημαίνει ότι η f' είναι αύξουσα (και 1-1)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017