Page 440 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 440

2
h'(χ)= +1> 0
x
δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ), με σύνολο
τιμών
h((0, + ))= ( lim h(x), lim h(x))=(- , + )=
x 0 x +
To 0 h((0, + ))= , συνεπώς υπάρχει μοναδικό (h γνησίως
αύξουσα) ξ (0, + ), τέτοιο, ώστε
h(ξ)=0`2lnξ+ξ-1=0~(1)

ζ)
Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x)=ln x, x e, παραγωγίσιμη μ ε
2
1 lnχ
φ'(x)=( ln x)'= 2lnχ = 2 = 2 f(x)
2
x x
Από Θ.Μ.Τ. για τη φ στο [χ, χ+1], υπάρχει α (χ, χ+1) τέτοιο,
ώστε
φ(χ+1)-φ(χ)
φ'(α)= =ln (χ+1) ln χ=2f(α) (2)
2
2
x+1-χ
f
e 1 ~ f(χ+1) f(α) < f(χ)~ 2f(χ+1) 2f(α) < 2f(χ)
~ 2f(χ+1) 2f(α) < 2f(χ)

(2)
~ 2f(χ+1) ln (χ+1) ln χ< 2f(χ)
2
2
ln (χ+1)-ln χ
2
2
~ f(χ+1)< < f(χ)
2

η)
lnx ( )
lim f(x)= lim =0
x + x + κριτήριο παρεμβολής
~
ln(x+1) u = x+1 lnu ( ) ( )
lim f(x+1)= lim = lim =0
x + x + 1 x + u

lim (ln (x+1)-ln x)= 0
2
2
x +

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017