Page 442 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 442

4.
Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με
3
f(x)=χ -3χ-2 για κάθε x .
Να δείξετε ότι :
α) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (-1, 2) , ώστε : f'(ξ)=0
β) υπάρχουν ξ 1 , ξ 2 (-1, 1) τέτοια ώστε: f''(ξ 1 )=f''(ξ 2 )=0
γ) υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο M(n, f(n)), n (0, x 1 ) με

1< x 1 <2 της C , που δέχεται οριζόντια εφαπτομένη
f
δ) υπάρχουν n 1 (0,x 1 ) και n 2 (x 1 ,2), τέτοια, ώστε:

f''(n 1 ) f''(n 2 )<0

5.
Δίνεται η συνάρτηση f:[0, + ) , παραγωγίσιμη στο
(0, + ), που ικανοποιεί τις σχέσεις
1
 f(x) f'(x)= 2 , για κάθε χ (0, + )
 f(0)=0
α) Να αποδεξείτε ότι f(x)= x, χ [0, + )
Κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται

πάνω στη C f
β) Να βρείτε τη θέση του κινητού Μ, τη στιγμή που οι κάθε-
τες από τη θέση αυτή προς τους άξονες και οι άξονες
σχηματίζουν τετράγωνο
γ) Να βρείτε το σημείο της καμπύλης που ο ρυθμός μετα-
βολής της τετμημένης x του Μ είναι τετραπλάσιος του
ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y, αν y'(t) 0
για κάθε t 0
δ ) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο
σημείο της Μ του ερωτήματος (γ).

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017