Page 443 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 443

6.
x
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)= e 1 - e με x
a) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, κυρτότητα,
σημεία καμπής
β) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής πα -
ράστασης της f
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της C f στο
σημείο Μ(a,f(α))
δ) Έστω σημείο Β, που είναι το σημείο τομής της ευθείας ε
του ερωτήματος (γ) με τον άξονα χ'χ.
Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ
είναι 2 cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τε-
τμημένης του σημείου Β τη χρονική στιγμή που το ση -
e - 1
μείο Μ διέρχεται από το σημείο Α(-1, e e )

7.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lne e x +x-1 x R
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
β) Να λύσετε την εξίσωση e +x=1
x

γ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και η γραφική παρά-
σταση της αντίστροφης της διέρχεται από το σημείο
a(e, 1)
Θεωρούμε και τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g: για
την οποία ισχύει g(x)-2016x=1+e f(x ) , για κάθε x
δ) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα
ε) Να αποδείξετε ότι g(0)=2
στ) Να λύσετε την ανισωση (g f)(x)>2

8.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e -1-ln(x+1), x >-1
x
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία
και τα ακρότατα

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η C f τέμνει τον άξονα χ'χ
γ) Να αποδείξετε ότι e x 1+ln(x+1), για κάθε x >-1
δ) Αν είναι α x 1+ln(x+1), για κάθε x >-1 αποδείξτε ότι α = e.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017