Page 441 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 441

Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η . . .

1.
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α, β] με
x+f(x)=1+ ef( x)
. Να δείξετε ότι:
α) η f διατηρεί πρόσημο στο [α, β]
β) η f είναι γνησίως μονότονη,
γ) η C f στρέφει τα κοίλα κάτω, αν f(α)>0
δ) α 2

Rolle για την f.
2.
lnx+α, 0< x< 1
Έστω η συνάρτηση f με τύπο f(x) x-β , x 1 , που

είναι συνεχής στη θέση χ 0 =1 ενώ η γραφική της παράσταση
διέρχεται απ΄το σημείο Μ(2, 1) και β 1.
α) να βρείτε τις παραμέτρους α και β .
για α=0 και β=1

β) να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι "1-1" για κάθε χ>0.
γ) να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης f
δ) να μελετήσετε την f - 1 , ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα

3.

Έστω η συνάρτηση g(x)=x(f(x)+1)-1, για κάθε x
Αν ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f είναι -1, ενώ ο

ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης g είναι 2-2χ, x
α) Δείξτε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι f(x)=1-x
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει μέγιστο
στη θέση χ=1
γ) για το x (θέση μέγιστου) του ερωτήματος (β) να δείξε-
τ ε ότι οι γραφικές πάρασ τ ασεις των συναρτήσεων f και
g τέμνονται πάνω στον άξονα χ'χ
δ) υπάρχει άλλο σημείο τομής των δύο γραφικών παρα-
σ τ άσεων;
ε) να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g

στ) να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης (χ -1) =0
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017