Page 444 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 444

9.
1
Α) Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x+ x-3
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτο-
νία και τα ακρότατα

β) Βρείτε τα σημεία στα οποία η C f τέμνει τον άξονα χ'χ
γ) Μελετήστε τη συνάρτηση f ως προς τη κυρτότητα
δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f (αν υπάρχουν)
Β) Δίνεται η συνάρτηση g(χ)=2χ -3(1+α)χ +6αχ-2 α
2
3
α) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία.
β) Να βρείτε τις τιμές g(1) και g(α)

γ) Να βρείτε τα όρια A= lim f(x) και B x lim f (x) .
x +
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
g(x)=0 για τις διάφορες τιμές του α .

10.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x – 2)lnx + x – 3, x > 0
α ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f.

β ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνου-
σα στο διάστημα (0, 1] και γνησίως αύξουσα στο διάστη-
μα [1, + ).
γ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ακριβώς
θετικές ρίζες
δ ) Αν x 1 , x 2 είναι οι ρίζες του ερωτήματος (γ) με x 1 < x 2 , να
αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ (x 1 , x 2 )
τέτοιος, ώστε ξ⋅ f'(ξ) – f(ξ) = 0
και ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) διέρχεται από την

αρχή των αξόνων.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017