Page 449 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 449

21.
1
Έστω η συνάρτηση f: με τύπο : f(x)= 1 χ 2 , χ
α) 1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς μονοτονία
και να βρείτε τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της.
2) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτό-
τητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.
Δ ε ιξτε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία καμπής
της, τέμνονται πάνω στον άξονα y'y και τέμνουν τον
οριζόντιο άξονα χ'χ σε σημεία συμμετρικά ως προς
την αρχή των αξόνων Ο(0, 0)
β) Έστω σημείο Α(α, 0), οπου α , του οριζόντιου άξονα.
Να βρείτε το διάστημα στο οποίο πρέπει να ανήκει ο α
ώστε να μην περνούν εφαπτομένες της γραφικής π α -

ράστασης C f από το σημείο Α
γ) Να βρείτε τα ορια :
f(x)
L = lim e -1 και L = lim f(ημx)+f(συνx)
1
2
x
x + ημ 2 1 x + e +lnx
x

22.
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: (- , 1] η οποία είναι
παραγωγίσιμη στο (- , 1) και ισχύει :
2f'(x)+f(x)=2xf'(x), για κάθε χ<1
α) Να αποδείξετε ότι f(x)= 1-x για κάθε x 1
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρό-
τατα τα κοίλα τα σημεία καμπής και να κάνετε μια πρό-
χειρη γραφική παράσταση
γ) Να βρείτε σημείο B(x, f(x)) που απέχει ε λ αχιστη από-
σταση από το σημείο A(-2, 0) και να αποδείξετε ότι η
εξίσωση της εφαπτομένης στο Β είναι κάθετη στην ευ-
θ ε ία που διέρχεται από τα Α και Β
δ) Έστω Μ(x, f(x)) ένα σημείο που κινείται κατά μήκος της

C f και (ε) η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Μ που
τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο K.
Αν για την τετμημένη του σημείου Μ γνωρίζουμε ότι
x'(t)=-x(t) να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας
x'KM την χρονική στιγμή που το σημείο Μ διέρχεται α π ό
το σημείο Β του ερωτήματος (γ)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017