Page 450 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 450

23.
Δίνεται η συνάρτηση f: [1, + ) για την οποία ισχύει:
f(t)- t-1 x 2017 +2x+1
x lim x+2016 = 2
+
α) Αποδείξτε ότι f(x)= x-1, x [1, + ) και ορίστε την f
1

β) Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη της C f που διέρχεται από
το σημείο Ο(0, 0) έχει εξίσωση ε: y= 1 x και στη συνέχεια
2
να βρείτε το σημείο επαφής της (ε) και της C f
γ) Να βρείτε τη σχετική θέση των C f και C f 1
(με δύο τρόπους)
δ) Να βρείτε το σημείο Μ της C f που απέχει ελάχιστη από-
σταση από το σημείο Α(2, 0)
ε) Ένας πεζοπόρος Π(α, α-1) κινείται κατά μήκος της C f
κατά την διάρκεια της νύχτας φορώντας φακό κεφαλής
πλησιάζοντας μια σπηλιά Ο(1, 0) και ο προβολέας φωτί-
ζει κατευθείαν εμπρός. Αν ο ρυθμός μεταβολής της
τετμημένης του πεζοπόρου δίνεται από τον τύπο

a'(t)=-a(t) να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμη-
μέν η ς του σημείου Γ στο οποίο πέφτουν τα φώτα του
φακού κατά την στιγμή στην οποία ο πεζοπόρος έχει
τετμημενη 5.

24.
Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f: [0, 2] και η
h: για τις οποίες ισχύει :
x -f(2)x+f(0)
2
 lim x-2 =2
x 2
 f(h (x)+h(x))-f(x)=x-h (x)-h(x),για κάθε χ
3
3
α) Nα βρείτε το είδος της μονοτονίας της f
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
g(x)=f (2-x)-f (x)
2
-1
3
γ) Να αποδείξετε ότι η h (x)+h(x)=x, για κάθε χ και
στην συνέχεια ότι είναι γνησίως αύξουσα και h( )= .
Επίσης να βρείτε το πρόσημο της h
δ) Nα αποδείξετε ότι η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη
στο πεδίο ορισμού της και στην συνέχεια να βρείτε το
σημείο καμπης της.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017