Page 445 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 445

11.
Έστω f, g συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιμες στο
και τέτοιες ώστε να ισχύει:
g '(0) = 0 , f(0) = 0 και για κάθε x και g’’(x) < 0
1 3
Αν f'(x) – g'(x) = x - 6 x -ημx (1) τότε :
α) Να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω
β) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο x = 0
γ) Να δείξετε ότι : f(4 ) + f(1) < f(2 ) για κάθε x > 0
x
x

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0

12. 2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln[(λ+1)x +x+1]-ln(x+2), x>-1
όπου λ ένας πραγματικός αριθμός με λ ≥ - 1
Α. Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το
όριο limf(x) και να είναι πραγματικός αριθμός.
x
Β. Έστω ότι λ = - 1
α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f
και να βρείτε το σύνολο τιμών της
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + α 2 = 0 έχει μονα-

δική λύση για κά θ ε πραγματικο αριθμο α με α 0 .

13. 2
x x
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e e + 2 -x+ lnλ -λ με λ>0
λ
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (- , 0]
και γνησίως αύξουσα στο [0, + )
β) Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η ελάχιστη τιμή της f να
γίνεται μέγιστη
γ) Αν λ=1

1) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή και να λύσετε στο την
2
+x -1
x
2
7x
εξίσωση e 7x 49x 2 = e 2 +7x-1
4
x
2
e e + 2 -7x -1 e e x + 2 -x -1
2) Να δείξετε ότι f'(e )< f'(1) για κάθε χ<0
x
e x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017