Page 447 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 447

17.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x +1)lnx, x>0
2
1
α ) Να δείξετε ότι 2χ lnx+ x >0 για κάθε χ>0
β ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να λύ-
σετε την εξίσωση f(x)=0
1
γ ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό χ 0 e , 1 , τέτοιο, ώστε

το Α(χ 0 , f(χ 0 )) να είναι σημείο καμπής της C f
δ ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f

18.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = f(x)= e x
x 2 +1
α ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να απο-
δείξετε ότι το σύνολο τιμων της είναι το (0, + )
β ) Να μελετήσετε την f ως προς τη καμπυλότητα
γ ) Να βρείτε τις ασυμπτωτες της C f
e 2
δ ) Να αποδείξετε την εξίσωση f(e 3 -x ×(x 2 +1))= 5 έχει στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών μια ακριβώς ρίζα
χ+συνχ
ε ) Να λύσετε την εξίσωση 2 e 2 = e
x +2χσυνχ+συν +1 2

19.
3 2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= ημx+ x
α) Να βρείτε την f'(x)
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
π 2
ξ 0, π : συνξ+ 2 = 2+2 3 4
2 3 ξ π
3
1
3
γ) Να υπολογίσετε το όριο lim f (x)ημ f x -f (x)
2
x +

δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g(x)= f(x) - 1 , χ (0, π)
x 3 x
ως προς τη μονοτονία.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017