Page 448 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 448

20.
Έστω η συνάρτηση f:(- , 1) με τύπο :
2-e , αν x< 0
-x
f(x)= 1-ln(1-x) , αν 0 x< 1
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι :
1) συνεχής στο πεδίο ορισμού της

2) παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και να ορίσετε
τη πάραγωγο της, συνάρτηση f', η οποία να δείξετε
ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
β) 1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς μονοτονία
και να βρείτε τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της.
Δ ε ίξτε ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει μοναδική φο-
ρά τη C f
2) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτό-
τητα σε κάθε ένα των διάστηματων (- , 0) και (0, 1)

3) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f με τον ελάχιστο

δυνατό συντελεστή διεύθυνσης και να δείξετε ότι
| f(x )-f(x )| | x -x |
1 2 1 2
4) Να δείξετε ότι όλες οι εφαπτομένες της C f σχηματί-
ζουν με τον οριζόντιο άξονα γωνιες φ π , π .
4 2
Αλλά και αντίστροφα, πάντα μπορόύμε να βρούμε ε-
φαπτομένες της C f και μάλιστα ακριβώς δύο, παραλ-

ληλες προς οποιαδήποτε ευθεία (δ) σχηματίζει με τον
π π
,
οριζόντιο άξονα γωνία φ 4 2
5) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f
γ) Να δείξετε ότι :
1) Η συνάρτηση f είναι αντιστρεψιμη και να ορισετε τη
συνάρτηση f -1
2) Τα γραφήματα C f και C f -1 έχουν μοναδικό κοινό ση-
μείο, το οποίο βρίσκεται πάνω στην π ρ ώτη διχοτόμο

των γωνιών των αξόνων
δ) Να λύσετε την ανισωση : f - 1 (χ+1)<χ
ε) Να λύσετε τις εξισωσεις :
1) f(x-1)=x, x<2
3
2
5
2) f(x)+f(x )+f(x )=f(x )+f(x 2016 )+f(x 2018 ) , αφού
βρείτε το πεδίο ορισμού της

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017