Page 451 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 451

25.
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: η
οποία ικανοποιεί τις σχεσεις :
π
 συν 2 -f''(x)+2f(x)+2xf'(x) =f''(x)-2f(x)-2xf'(x), για
κάθε χ (0)

2
 | f'(0) | + f (0)-2f(0)+1=0
α) Να αποδείξετε ότι
f(x)=e x 2 για κάθε χ
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να
βρείτε ,αν έχει, τις ασύμπτωτες.
γ) Να λυσετε την εξίσωση
2 2
x= e ημ x -x ημx
δ) Να υπολογίσετε το όριο :
lim 1-συνx
2
3
x 0 x e 2x -x ημxe x

26.
Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχυουν:
x
e -f(f(x))=1, για κάθε χ
Nα αποδείξετε ότι:
α) η f αντιστρέφεται
β) ότι διέρχεται από την αρχή των αξόνων
Αν επιπλέον είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα τότε:
γ) Να υπολογίσετε το όριο:
lim x-2
x 1 f(x 2016 )-f(x 2015 )
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
f(x -3x-1)=1+3x-x
3
3
έχει τ ρ ε ις ρίζες, δύο αρνητικές και μια θετική

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017