Page 453 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 453

29.
Έστω η συνάρτηση f: [2, + ) , συνεχής στο [2, + )
και παραγωγίσιμη στο (2, + )
για την οποία γνωριζουμε ότι
f(x+y)f(y)-f (y) 1
2
x lim x = 2 , για κάθε y>2
0

και επιπλέον ότι το γράφημα C f περνά α π ό το σημείο
B(3, 1)
α) Να δείξετε ότι :
f(x)= x 2, x 2
β) Ένα αυτοκινητο (A) κινείται πάνω στο C f και απομακρύ-

νεται από τον άξονα y'y με ρυθμο 1 cm/sec.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του
(A), κατά την χρονική στιγμη t 0 , όπου t 0 είναι η τελευ-
ταία στιγμή που το αυτοκίνητο (A) είναι ορατό από α κ ί-
νητο παρατηρητή , ο οποίος στέκεται στην αρχή των α-
ξόνων.
γ) Δίνεται το σταθερό σημείο του επιπέδου Κ(2 2 , 9 2-8).

Να δείξετε ότι :
1) Το πλησιέστερο σημείο του γραφήματος C f στο σ η -
μείο K είναι το σημείο M (4, 2 )
0
2) Η εφαπτομένη της C f στο σημείο της M 0 είναι κάθετη
στην ευθεία KM 0 και μάλιστα περνά από την αρχή των

α ξ όνων.
δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται α π ό

το C f , τον οριζόντιο άξονα x'x και την εφαπτομένη του
προηγούμενου ερωτήματος.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017