Page 456 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 456

34.
Έστω η συνάρτηση f: με τύπο:
f(x)=(χ-1-α ) e -α +α, χ και η παράμετρος α
2
x
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχι-

στο, το οποίο να προσδιορισετε σε συνάρτηση με τον α.
Δειξτε ότι καθώς το α μεταβάλλεται στο , το ολικό ε-
λάχιστο της συνάρτησης f κινείται πάνω στην καμπύλη
x
2
C g της συνάρτησης g, με g(x)=x- e -x +8, χ
β) Αν το α αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/sec, να βρείτε το ρυ-
θ μ ό μεταβολής του f min ως προς το χρόνο t, τη χρονική
στιγμή t 0 που είναι α 0 =1

γ) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου α για την οποία το
ελάχιστο της f παίρνει την μέγιστη δυνατή τιμή του.
δ) Να δείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f μηδε-
νίζεται ακριβώς δύο φορές καθώς η παράμετρος α δια-
τ ρ έχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

35.
Έστω η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη στο με
f'(x)-f(x)+(x-1) =0, για κάθε χ και f(0)=2
2
α) Να δείξετε ότι f(x)= e +x +1, χ
2
x
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα

και να δείξετε ότι δεν παρουσιάζει σημεία καμπής.
γ) Να δείξετε ότι :
1) Η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο
σε σημείο x 0 (-1, 0) για το οποίο ισχύει ότι 1<f mi n <4
2) Ισχύει ότι : x f(x) 1, για κάθε χ , όπου x 0 , είναι η
0
θέση ολικού ελάχιστου της f, που βρέθηκε στο προη-
γ ο ύμενο ερώτημα.
3) Να δείξετε ότι (x -x ) f(x)-2 x (x 1 ) , για κάθε χ
2
2
e
δ) Η εξίσωση f'(x) 2 +f(x)f''(x)=kf''(x) , όπου χ και k>4,
έχει, για κάθε k>4, ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017