Page 452 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 452

27.
Δίνεται συνάρτηση f: με συνεχη δ ε υτερη πάραγωγο
για την οποία ισχύει:
 f''(x) 0, για κάθε χ
 f(1)=f'(1)=1
 lim 3f(1+2h)+2f(1-3h) 15
h 0 h 2
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή και να βρείτε την εξί-
σωση της εφαπτομένης στο (1, 1)
β) Να λύσετε τις ανισώσεις:
1) f(x)>x
2) f(x) x
3) f(x) x
γ) Να λύσετε την εξίσωση:
x x x x x x x x
f(20 +21 -22 -19 +1)=20 +21 -22 -19 +1

28.
Έστω η συνάρτηση f: , συνεχής στο και για την
οποία lim x f x+3 -3 = 6 .
x x
Έστω α κ όμη η συνάρτηση g: με τύπο
g(x)=αχ +βχ+3, χ
2
a) Να δείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y=2x+1 εφάπτεται

της C f στο σημείο της A(1, f(1))
β) Να υπολογίσετε το όριο :
L lim e f(x) -e 3
1 x 1 ημ(x-1)
Αν επιπλέον, η συνάρτηση f είναι κυρτή στο και η εφα-
πτομένη της στο A(1, f(1)) εφάπτεται και στο C g

2
γ) Να δείξετε ότι είναι g(x)=2χ -2χ+3, χ και
δ) Να υπολογίσετε το όριο :
f(ημx)+g(συνx)
L 2 x lim f(x)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017