Page 455 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 455

32.
Έστω η συνάρτηση f: συνεχής στο , για την οποία
γνωρίζουμε ότι e f(x) -2=(x -1)e -f ( x) , για κάθε χ .
4
2
α) Να δείξετε ότι f(x)=ln(x +1), χ
β)1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία
και να βρείτε τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της.
2) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτό-
τητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της C f
γ) Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομενες της
C f οι οποίε ς είναι κάθετες μεταξύ τους, τις οποιες να

προσδιορισετε. Δειίξτε ότι τα σημεία επαφης που έχουν
την ιδιότητα αυτή, είναι τα σημεία καμπής της C f
δ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε να
ισχύει ότι :
f(2α+β-11) α-β+4 1
2 + (β-α-4 ) +1 + 2 0
2

33.
α +β x
x
Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f(x)= 2 , χ ,
όπου α,β>0
α) Να δείξετε ότι η σχέση g(x) 1, αληθεύει για κάθε χ ,
όταν και μόνο όταν, οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι.
- 1
Ας υποθέσουμε τώρα ότι είναι β=e
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f'(x), χ είναι αντι-
στρέψιμη και να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g - 1
γ) Να λύσετε την εξίσωση g(x)= g - 1 (x), χ

δ) Αν είναι G: με τύπο : G(x)= f(x)-1 , x 0
x
0 , x 0

1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση G ως προς τη μονοτονία
2
2) Να δείξετε ότι xf(x)-f(x )<x-1, για κάθε x>1
3) Να λύσετε την εξίσωση
f(x )-1 f(x )-1 f(x 2017 )-1
3
5
f(x)+ x 2 =1+ x 4 + x 2016 , όπου x>0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017