Page 454 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 454

30.
Έστω η συνάρτηση f: για την οποία γνωρίζουμε ότι
είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο , η C f δεν δέχεται ορι-
ζόντια εφαπτομένη σε κανένα σημείο της και f'(2)=1.
Έστω α κ όμη η συνάρτηση g: [1, + ) με τύπο :
f(2x )-f(2x)
2
g(x)= x-1 , x 1
2 , x 1
α) Να δείξετε ότι :
1) Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη στο

2) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [1, + )
Αν επιπλέον η συνάρτηση f' είναι συνεχής στο ,
να δείξετε ότι :
β)Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο
γ) Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + )
δ) Να λύσετε την εξίσωση :
2
[f(8x +24| x| +18)-f(4| x| +6)](| x| +3)=
= 2[f(2x +16 | x| +32)-f(2| x| +8)](| x| +1)
2

31.
Έστω η συνάρτηση f: (0, + ) με τύπο :
x 2
x
f(x)= e + 4 (2lnx-3)-x+1 , χ>0
α) Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρεψιμη στο (0,+ )
- 1
και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό ση-
μείο καμπής M(x 0 , f(x 0 )), με x 0 (0, 1).
Δ ε ίξτε ότι στο σημείο M, ο ρυθμός μεταβολής της f γί-
νεται ελάχιστος
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f – αν υπάρχουν – και

να σχεδιάσετε πρόχειρα την C f
δ) Να δείξετε ότι e +x (1+e )+ln x x x 0, για κάθε x>0
x
x
0
0 0 e
f(1+ημ x)+f'(1+συν x)
2
2
ε) Να υπολογίσετε το όριο : L x lim f(x)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017