Page 446 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 446

14.
2
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x )
α ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την πάραγωγο της f
β ) Να βρείτε τα σημεία της C f στα οποία η εφαπτομένη

διέρχεται από την αρχή των αξόνων
γ ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρό-
τατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της
δ ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

15.
Δίνεται μια συνάρτηση f : [0, 2] η οποία είναι δύο φ ο -
ρ έ ς παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες
● f''(x)-4f'(x)+4f(x)=kxe 2x , 0 x 2, k
● f'(0)=2f(0)
● f(2) = 2f(2) + 12 e
4
2
● f(1) = e
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
g(x)=3x - f' (x)-2f(x) , 0 x 2
2
e 2x
ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο
διάστημα [0, 2]
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (0,2) , ώστε να ισχύει
f''(ξ)+4f(ξ)=6ξe 2 ξ +4
γ) Να αποδείξετε ότι k = 6 και ότι ισχύει g(x) = 0 για κάθε

x [0, 2]
3
δ ) Να αποδείξετε ότι f(x)=x e 2 x , 0 x 2

16.
2
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =2 χ 3 -15χ +24χ
α ) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία - ακρότατα
β ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της
γ ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = λ για τις διάφορες τιμές
του λ
δ ) Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και να
βρείτε τα σημεία καμπής της αν υπάρχουν.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017