Page 439 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 439

lnx
χ = e κχ ` lnx=κχ ` =κ ` f(x)=κ

Διακρίνουμε περιπτώσεις
(η f γνησίως μονότονη σε κάθε περίπτωση)
● Αν κ 0: Η εξίσωση έχει μοναδική λύση (κ (- , e - 1 ])

● Αν 0<κ< e - 1 : Η εξίσωση δύο μοναδικές λύσεις
(κ (- , e - 1 ], κ (0, e - 1 ])
● Αν κ= e - 1 : Η εξίσωση μοναδική λύση την x=e
● Αν κ> e - 1 : Η εξίσωση δεν έχει λύσεις
(κ (- , e - 1 ], κ (0, e - 1 ])

ε)
π
Για κάθε χ 0, η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα (άρα
2

και "1-1")
(ημχ) συνχ =(συνχ) ημχ ` ln(ημχ) συνχ = ln(συνχ) ημχ
` συνχ ln(ημχ)= ημχ ln(συνχ)

ln(ημχ) ln(συνχ)
` =
ημχ συνχ

` f(ημχ)= f(συνχ)

π
x 0,
f 1 -1 2 π
` ημχ= συνχ ` χ =
4

στ)
Η εξίσωση της εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ(ξ, f( ξ ) )
είναι
lnξ 1-lnξ
y-f(ξ)=f'(ξ) ( χ -ξ ) ` y- = ×(x-ξ)
ξ ξ 2

η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα y'y στο (0, -1) και ισοδύναμα
η εξίσωση της
lnξ 1-lnξ -ξ-lnξ -1+lnξ
-1- = ×(0-ξ)` = ` 2lnξ+ξ 1 0 (1)
ξ ξ 2 ξ ξ
Για να υπάρχει μοναδικό ξ (0, + ), αρκεί η (1) να έχει μοναδι-
κή λύση

Πράγματι
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=2lnχ+χ-1, χ (0, + ), που είναι
συνεχής (άθροισμα συνεχών) και παραγωγίσιμη με

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017